قبل از هرچیزی لازم می‌دونم متذکر شم که این مطلب تنها جمع‌آوری و بررسی منطقی مطالب است و لزوما بیانگر اعتقادات شخصی من - سجاد حیدری - نیست. متشکرم که توجه می‌کنید.

آقای کرت گودل یکی از مشهورترین ریاضی‌دان‌های قرن بیستم میلادی نظریه‌های متفاوتی در منطق دارد که دید ریاضی‌دانان به این فیلد را برای همیشه عوض کرده است. از جمله کار‌های او نظریه عدم تمامیت را می‌توان برشمرد که ثابت می‌کند در هر سیستم منطقی، باید درستی یک سری قواعد را پذیرفت و همه چیز قابل اثبات نیست1.

آقای گودل در «حدود سال 1941» میلادی اثبات خود را مکتوب کرده اما آن را تا سال 1970 میلادی به کسی نشان نداده است. در این سال او باور داشت که به اواخر عمرش نزدیک شده و به همین دلیل اثبات خود را به یکی از همکارانش نشان داد. گودل اثبات را تا آن زمان به کسی نشان نداده بود چرا که «می‌ترسید بقیه فکر کند که او واقعا به خدا ایمان دارد، در حالی که تنها در تلاش بود آزمایشی کند تا نشان دهد چنین اثباتی با فرضیات کلاسیک (تمامیت و درستی) امکان پذیر است.» هرچند همسر او Adele در مصاحبه‌ای گفته کرت هر چند به کلیسا نمی‌رفت اما خدا باور بود و صبح های روزها یکشنبه در تخت انجیل می‌خواند.

اثبات در منطق modal صورت می‌گیرد که در آن میان درستی و امکان تفاوت هست. در این منطق تعدادی «جهان ممکن» وجود دارد که در هرکدام هر گزاره درست یا غلط است. چنانچه گزاره‌ای در تمام جهان ها درست باشد یک «حقیقت منطقیست» و چنانچه حداقل در یک جهان درست باشد یک «امکان» است. به عنوان مثال چنانچه جهان های ممکن شهرها باشند، گزاره «این شهر، شهری بندری است» یک امکان است چون در بندرعباس درست است اما در تهران درست نیست. اما گزاره «این شهر ساختمان دارد» یک حقیقت منطقی است.

مدل سازی در این اثبات از سخنان St. Anselm برداشته شده «خدا، بنابر تعریف، تمام آن چیزی است که بهتر از آن وجود ندارد. خدا در فرض وجود دارد. اگر خدا در فرض وجود داشته باشد، می‌توانیم تصور کنیم حالت بهتری از وی وجود دارد که در واقعیت وجود دارد. بنابراین خدا در واقعیت وجود دارد.» در اثبات گودل تعریفی که از خدا ارائه می‌شود آنست که «خدا تمام آن چیزی است که بهتر از آن وجود ندارد» یا به عبارت دیگر شامل تمام ویژگی‌های مثبت است. در انتهای این پست می‌توانید اثبات را بخوانید.

اثبات گودل ۵ اصل را می‌پذیرد:

  • اثرات هر ویژگی مثبت، مثبت هستند
  • هر ویژگی یا مثبت است و یا منفی و نمی‌تواند هر دو باشد
  • خدا بودن یک ویژگی مثبت است
  • یک ویژگی مثبت در تمام جهان‌ها مثبت است
  • «وجود الزامی» یک ویژگی مثبت است.

ایرادات وارده به اثبات

اثبات گودل از لحاظ منطقی کاملا درست است و هیچ ایرادی به آن وارد نیست، حتی یک پروژه متن‌باز سعی در اثبات آن با استفاده از روش های فرمال اثبات با کامپیوتر دارد. بنابراین نمی‌توان به آن از لحاظ منطقی ایرادی گرفت.

اما این پایان ماجرا نیست. در هر اثبات درست و منطقی می‌توان از اصول و فرضیات آن ایراد گرفت. این ایراد به خصوص در مورد اثبات گودل مشهود است چرا که هیچ توضیحی برای آن ارائه نشده است. ایراد دیگری که به اصول گودل وارد است این است که آن‌ها باعث نتایج ناخواسته‌ای می‌شوند، به عنوان مثال باعث سقوط modal شوند، یعنی تمام «امکان»ها «حقیقت منطقی» شوند.2

اثبات دیگری از Graham Oppy نشان می‌دهد تعداد زیادی «شبه خدا» با این فرضیات قابل اثبات هستند هر چند منتقدان درباره آن گفته‌اند «درست است که اصول گودل شک برانگیز هستند اما این ایراد وارده به آن قابل قبول نیست.»

از دیگر ایرادات وارد به این اثبات نگاه باینری به ویژگی‌هاست. گودل فرض می‌کند هر ویژگی یا مثبت است و یا منفی، حال آنکه می‌توان ویژگی‌های دیگری در نظر گرفت که اینطور نیستند.

ایراد آخری که به اثبات گودل وارد است تعریف وی از خداست. گودل خدا را شامل تمام خوبی‌ها در نظر می‌گیرد که بنابر دیگر اصولش عاری از هر بدیست. این تعریف مخصوصا با اسلام در تضاد است چرا که بنابر قرآن خدا «جبار،قهار و خیرالمکارین» است و این صفات از آنجایی که متضاد مثبت دارند باید منفی باشند. در جواب این ایراد هرچند می‌توان گفت که جبار و قهار و مکار بودن خداوند با جبار و قهار و مکار بودن عادی تفاوت دارد و تنها در مقابل کفار است که این باعث مثبت شدن آن می‌شود.


دیگر مسائل قابل اثبات با این فرضیات

چنانچه فرضیات گودل را بپذیریم، علاوه بر وجود خدا مسائل زیر نیز قابل اثبات هستند:

  • یکتایی خدا:‌ فقط و فقط یک خدا وجود دارد و دوگانگی برای خدا امکان ندارد.
  • چنانچه modal بودن اثبات را کنار بگذاریم تنها با پذیرفتن اصول ۱، ۲ و ۳ می‌توان اثبات کرد که یک موجودی وجود دارد که آن خداست.

روال اثبات:

proof

  • اصل اول:‌ چنانچه ویژگی مثبت فای در هر جهان مثبت باعث ویژگی سای شود، سای نیز مثبت خواهد بود. -اصل دوم: هر ویژگی یا مثبت است یا نقیض آن مثبت است ولی نه هر دو.
  • قضیه اول:‌ هر ویژگی مثبت در حداقل یک جهان نمود دارد (یعنی شی موجود است که آن ویژگی را دارا می‌باشد)
  • تعریف اول:‌ یک شی «خدا مانند3 است اگر شامل تمام ویژگی های مثبت باشد.
  • اصل سوم:‌ خدا بودن یک ویژگی مثبت است.
  • قضیه دوم:‌ خدا بودن در بعضی جهان ها نمود دارد.
  • تعریف دوم: ذات یک موجود را سای گوییم هرگاه آن موجود ویژگی سای را در تمام جهان ها داشته باشد و آن ویژگی تمام ویژگی‌های دیگر آن موجود را نتیجه بدهد.
  • اصل چهارم: ویژگی‌های مثبت در تمامی جهان‌ها مثبت هستند.
  • قضیه سوم: «خدامانند بودن» ذات هر موجود «خدامانند» است. ۰ تعریف سوم: برای x «وجود الزام دارد» هر گاه برای هر ذات x مثل سای، یک عنصر y با ویژگی سای در تمام جهان‌های موجود باشد.
  • اصل پنجم: «وجود الزامی» یک ویژگی مثبت است.
  • قضیه چهارم: خدا در تمام جهان‌ها موجودیت دارد.

  1. این نظریه در بخش اول خود اثبات می‌کند هر سیستمی یکپارچه‌ای که فرض‌هایش قابل لیست شدن توسط یک الگوریتم باشد نمی‌تواند تمامی حقایق قابل بیان در مورد اعداد طبیعی را بیان کند و در بخش دوم اثبات می‌کند هیچ سیستم منطقی نمی‌تواند تمامیت خود را اثبات کند. 

  2. اثباتی از Jordan Howard Sobel برای این مسئله ارائه شده است که توسط کامپیوتر قابل بررسی شدن بود. این اثبات از لامبدا کلکولس استفاده می‌کند که گودل آن را در اثباتش استفاده نکرده است. برای همین Koons پیشنهاد می‌دهد اثبات گودل در منطقی ارائه شود که قواعد لامبدا را نپذیرد. با این کار اثبات گودل درست خواهد بود و ایراد وارده رد می‌شود. 

  3. godlike